Метод реальных опционов в оценке инвестиционных проектов

Из этой статьи вы узнаете:

• Что такое опцион
• Какие бывают опционы
• Какие сделки с опционами совершаются на бирже
• В чем плюсы и минусы опционов

Многие думают, что понятие «опцион» используется только в тех случаях, если речь идет о валютных рынках и фондовых биржах. Однако область применения данного финансового инструмента намного шире. И поскольку заключение опционного контракта почти всегда связано не только с выгодой, но и с рисками, предлагаем детально разобраться в том, что такое опцион, а также рассмотреть механизм его работы на конкретном примере.

Что такое опцион

Под этим термином понимается ограниченный по времени контракт, дающий право на покупку или продажу любого актива. Из этого определения следует 2 ключевые особенности опционов:

• они дают право на покупку или продажу актива, а не обязанность. Например, держатель Call опциона на покупку акций Apple может не исполнять его, если цена базового актива (ценных бумаг «яблочной» компании) изменится в невыгодную для него сторону.
• эти контракты ограничены по времени, у них есть срок экспирации – это время, на которое откладывается заключение сделки.

Что касается типов базовых активов, то существуют опционные контракты на все типы инструментов. Это могут быть драгоценные металлы, валюты, инструменты товарного рынка, криптовалюта, предметы искусства. Есть контракты на погодные фьючерсы (торгуются в том числе и на Чикагской товарной бирже), трейдеры зарабатывают даже на правильном прогнозе погоды.

Опционы торгуются на тех же биржах, на которых трейдеры работают с фьючерсными контрактами. Если вы только начинаете работать в этом направлении, полезной будет статья, что такое фьючерс, обязательно прочтите ее.

На видео ниже – подробный разбор природы опционов. Рекомендую ознакомиться с ним.

Разновидности опционов

Существует несколько различных классификаций:

1. В зависимости от типа.

Выделяют две основные вариации опциона – колл и пут.

Что такое опцион колл? Это контракт, который дает держателю опциона право на приобретение актива по фиксированной стоимости в течение определенного временного промежутка. Покупка таких опционов осуществляется с тем расчетом, что стоимость предмета договора значительно возрастет. Другими словами, держатель опциона купит актив по старой цене, хотя его реальная ценность будет уже намного выше. Call-опцион называют опционом на покупку.

Теперь попробуем ответить на вопрос, что такое пут-опцион. Put-опцион дает возможность продать актив по установленной цене в течение определенного временного промежутка. Сделки с пут-опционами принесут прибыль в том случае, если в ближайшее время прогнозируется снижение стоимости актива. Таким образом, держатель опциона сможет продать актив в указанный срок в будущем по предварительно оговоренной цене. Такой договор называется опционом на продажу.

Обратите внимание, что заключение соглашения не предполагает возложения обязательства по распоряжению активом на держателя опциона. То есть распоряжаться своим правом на управление активом держатель опциона может по своему усмотрению.

2. В зависимости от актива.

— Товарный – объектом данного опциона является право на покупку (продажу) установленного количества товара по фиксированной цене до определенного срока.

— Фондовый опцион – предоставляет возможность покупки ценных бумаг определенной организации по фиксированной цене в течение установленного договором временного промежутка.

— Валютный опцион предоставляет возможность распоряжения установленным объемом иностранных валютных средств по конкретной цене в течение временного периода, согласованного сторонами.

— Опцион на индекс – предметом опционного контракта является величина, кратная индексу фондового рынка.

— Опцион на процентную ставку – дает право на получение займа по ставке с установленным верхним пределом или право инвестирования средств под ставку с фиксированным нижним пределом в течение согласованного сторонами периода.

— Опцион на фьючерсный контракт – дает право на приобретение (продажу) фьючерсного договора по конкретной цене в течение согласованного сторонами периода.

3. В зависимости от рынка обращения.

Данное основание предполагает деление опционов на две группы: биржевые и внебиржевые.

Что такое опцион на бирже? Биржевые опционы – это стандартные контракты, основные параметры которых определяются биржей. Участники торгов могут повлиять только на размер опционной премии.

Читайте также:  Стратегия форекс «Торговля на новостях» — как торговать на новостях и много зарабатывать

Внебиржевые опционы предполагают заключение контракта с учетом волеизъявления каждого участника сделки, т. е. на произвольных условиях.

4. В зависимости от стиля.

— Американский – договор, согласно которому приобретатель опциона может воспользоваться своим правом в любое время до окончания срока действия соглашения.

— Европейский – договор, в соответствии с которым держатель опциона получает возможность реализовать право распоряжения активом после того, как закончится период действия контракта.

— Азиатский – соглашение, которое исполняется по средневзвешенной цене за весь период действия опциона с момента приобретения. Наиболее ярким примером американских опционов являются биржевые, в то время как внебиржевые опционные соглашения чаще всего заключаются в европейском или азиатском стиле.

5. В зависимости от типа расчетов.

Данное основание предполагает деление опционов на два вида: с уплатой премии и без уплаты «страховой» суммы. Опцион, относящийся к первой группе, подразумевает такой контракт, при котором опционная премия выплачивается продавцу в момент заключения соглашения.

Топ-3 статей, которые будут полезны каждому руководителю:

• Финансовый контроль на предприятии
• Чистая рентабельность предприятия
• Как выстроить финансовую структуру компании

Виды опционов

Классификация зависит от выбранного критерия.

По типу:

• Европейские. Неудобны тем, что позволяют владельцу права покупки/продажи воспользоваться им только в срок экспирации. Это снижает пространство для маневра. Например, до срока экспирации цена БА меняется в выгодном направлении, но трейдер не может досрочно исполнить контракт. Он ждет до срока истечения, за это время график может уйти в убыточную сторону. К дате экспирации он может перейти в состояние «вне денег».
• Американские – гибче по сравнению с европейскими за счет того, что могут исполняться в любой день до истечения. Трейдер может реализовать свое право на продажу или покупку базового актива до экспирации. Это повышает шансы на успех, нет привязки к конкретной дате, контроль над сделкой сохраняется на протяжении всего срока ее службы.

Предположим, в конце мая покупается опцион Колл (базовый актив – фьючерсы на акции Аэрофлота). Выбран страйк 8000 руб, это значит, что для заработка нужно, чтобы при исполнении контракта цена находилась выше 8000 руб.

Дата исполнения установлена на 17 июня 2021г. Этот пример показан для Московской биржи, на ней торгуются американские опционы, поэтому трейдер может исполнить его до 17.06.20.

Переходим к графику акций Аэрофлота. Покупка делалась, когда стоимость ценных бумаг составляла несколько меньше 80 рублей за штуку. В моменте их стоимость росла до 97,74 руб. за 1 акцию, максимум достигнут 9 июня 2021 г. Так как работа ведется на ММВБ, держатель Колл контракта может исполнить его досрочно, например, по цене 95,00.

Если бы торговался европейский тип, то трейдеру пришлось бы ждать экспирации. По регламенту она происходит 17 июня 2020г. во время вечернего клиринга (18:45-19:05 МСК, обычно время ограничено 18:45-19:00 МСК, но в дни, когда происходит экспирация контрактов, временной диапазон увеличивается на 5 минут). К этому моменту Call опцион становится менее прибыльным – котировки акций Аэрофлота снизились в район 85 руб. за 1 бумагу.

Исполнение контракта все равно дает прибыль, но по сравнению с досрочным закрытием по более высокому курсу трейдер теряет больше половины потенциальной прибыли. Именно поэтому популярнее американский тип.

Что касается фиксации результата по сделке, то он может выполняться как открытием встречной позиции, так и непосредственно досрочным исполнением текущего контракта. Второй вариант применяется при отсутствии контрагента для заключения встречной сделки.

По методу организации торговли:

• Маржируемые (фьючерсного типа). В момент заключения сделки премия не перечисляется продавцу контракта, а, как и в случае с фьючерсами, на счетах продавца и покупателя фиксируется гарантийное обеспечение. Еще одно отличие от второго типа – присутствие вариационной маржи, она перечисляется по итогам каждой торговой сессии.
• Немаржируемые – при покупке контракта премия перечисляется продавцу, на его счете фиксируется ГО под опцион. Вариационной маржи нет, вместо этого при изменении цены меняется ГО на счете продавца (подписчика). Есть и прочие различия в том, как работают эти типы контрактов

Поставочные опционы

Так называются те контракты, по которым происходит поставка базового актива. При этом трейдера не заставляют держать контракт до экспирации (если он американского типа), позиции можно закрыть обратной сделкой – так фиксируется торговый результат. Можно обратиться к брокеру для досрочного исполнения.

Как правило, в роли базового актива выступает фьючерсный контракт. Экспирация опционов (поставочных) происходит за 2 дня до истечения соответствующего фьючерса во время вечернего клиринга на ММВБ.

Поставочные опционы и фьючерсы широко используются в реальном бизнесе для хеджирования рисков. Этот тип контрактов позволяет, например, подстраховаться на случай неблагоприятного изменения цены на сырье, оборудование, валюту и прочие категории базовых активов.

Виды сделок по опционам

Стоит отметить, что на один актив можно заключить всего четыре сделки по опционам. Попробуем разобраться в опционных соглашениях на конкретном примере. Для простоты и наглядности возьмем в качестве базового актива фьючерс на индекс РТС.

• Первый тип сделки – приобрести колл-опцион.
• Второй тип – реализовать колл-опцион.
• Третий тип – приобрести пут-опцион.
• Четвертый тип – реализовать пут-опцион.

Приобретение колл-опциона будет целесообразным в том случае, если в ближайшем будущем предполагается значительный рост индекса. Допустим, сейчас РТС стоит 400 пунктов, а его ожидаемая цена составляет 900 пунктов. То есть, заключая опционный контракт, покупатель получает возможность приобрести РТС по цене 400, в то время, когда его рыночная стоимость будет составлять 900 пунктов.

Когда нужно продавать call-опцион? Его продажа будет выгодной, если в ближайшее время не ожидается роста индекса и если существует уверенность в том, что приобретатель опциона не обратится к нам за его исполнением и оставит свой залог.

Сделки с пут-опционами осуществляются по зеркальному принципу. Подписывать контракт на покупку такого опциона стоит в том случае, если в скором времени ожидается падение индекса РТС. Допустим, мы приобретаем пут-опцион по цене в 900 пунктов. И когда стоимость индекса снизится до 400, контрагент будет обязан по нашему требованию купить этот индекс по цене 900. При продаже пут-опциона наша прибыль будет по-прежнему ограничена только суммой залога, которая останется, если контрагент не обратится к нам за исполнением опциона.

Чем торговля опционами отличается от фьючерсов

Если описать, что такое опционы и фьючерсы простыми словами, то ключевое отличие заключается в гибкости:

1. При работе с опционами покупатель приобретает право на покупку-продажу базового актива в будущем.
2. При работе с фьючерсами стороны договариваются о сделке, отложенной по времени. У покупателя нет выбора относительно исполнения сделки в момент экспирации.

Оба типа инструментов можно рассматривать как спор между 2 сторонами о том, какой будет цена через определенное время. При покупке поставочного фьючерса, например, на акции Газпрома, покупатель фактически приобретает бумаги этой компании, но с отсрочкой по времени. При экспирации он получит акции по цене, оговоренной заранее.

Пример с фьючерсом Газпрома

На рисунке ниже – сентябрьский фьючерс на акции Газпрома. Предположим, покупка 1 контракта выполнена 17 июля 2021г. по цене 18 596 руб. (1 фьючерс подразумевает покупку 100 бумаг). Если не закрывать контракт встречной позицией и не продлевать его, то в сентябре возможно 2 варианта:

1. Цена базового актива вырастет, например, до 250 руб. за бумагу, то покупатель все равно сможет купить акции по 185,96 руб.
2. Цена упадёт, например, до 150 руб. за 1 ценную бумагу, трейдер все равно покупает их по 185,96 руб. за одну. Фактически теряет 35,96 руб. на каждой акции. Но обычно фьючерсы используют для спекулятивных операций и редко держат до экспирации. По ним либо фиксируется результат встречными позициями, либо контракт переносится на следующий месяц.

При работе с опционами в той же ситуации трейдер мог исполнить контракт при благоприятном изменении цены для него. Если стоимость акций падает, нет смысла делать это. Выгоднее потерять уплаченную при покупке контракта премию и не пользоваться правом на покупку ценных бумаг Газпрома. В этом ключевое отличие фьючерса от опциона

Если речь идет о маржируемом типе, разница уже не столь очевидна. В момент покупки контракта на счете блокируется гарантийное обеспечение. Во время клиринга происходит выплата вариационной маржи, позиции переоцениваются постоянно. Во время экспирации в терминале просто появится соответствующий фьючерс вместо опциона.

Выбор реальных опционов

В рассматриваемом проекте приняли решение учитывать только два опциона:

• на ожидание. В России штрафы за позднее начало использования приобретенной земли отсутствуют либо пренебрежительно малы. Значит, мы имеем право подождать до лучших времен и отложить старт застройки купленного участка. Тем самым мы можем рассчитывать на получение прибыли в будущем, а вот если начнем при неблагоприятных ценах — получим убыток. Если же отложить покупку самой земли, то этот участок купят конкуренты, дождутся подходящего момента и реализуют прибыльный проект;
• на выход из проекта. Ликвидность участков земли, например в Санкт-Петербурге, даже сейчас на достаточно высоком уровне. Поэтому его можно продать по разумной цене в любой момент, тем самым выйти из проекта.

Опционы на ожидание и выход из проекта есть практически у каждого участка. Чем бы участок уже ни был застроен, всегда можно повременить или продать в случае чего.

Опционы на увеличение размера или изменение функционала проекта вносят в него корректировки, которые требуют многочисленных согласований. Придется подготовить огромное количество документов, а значит, потерять время и потратить больше денег. Поэтому менеджмент компании отказался их использовать.

Разбираемся в терминологии

Заработок на различных опционах сопряжен с использованием специфической терминологии. Разберем самые ходовые понятия:

• Колл – это контракт, покупатель которого может в будущем приобрести базовый актив (БА) по фиксированной ранее цене. Не имеет значения, какой будет стоимость БА при экспирации.
• Пут – его покупатель получает право продать БА по заранее оговоренной цене. Вторая сторона не имеет возможности отказаться от покупки базового актива.
• Страйк – стоимость БА, по которой при экспирации может быть куплен или продан актив. В доске опционов для каждого есть целая серия страйков. В зависимости от них меняется стоимость контракта и вероятность получения дохода.

  

• Объем – размер позиции, измеряется в количестве контрактов.
• Open Interest – показывает число открытых контрактов. В момент «входа» новых игроков заключаются сделки между продавцами и покупателями, при этом OI растет. В зависимости от дальнейших действий он может как падать, так и расти.

• Уровни проторговки – возле них силы продавцов и покупателей на время уравниваются. График движется в узком ценовом диапазоне, слом проторговки указывает на более вероятное направление движения в будущем. На этом явлении построены некоторые системы торговли. Подробнее о методах трейдинга я расскажу позже в посте про анализ и стратегии опционов.
• Премия – сумма, уплачиваемая продавцу при покупке опционного контракта. Это своего рода плата за риск, что держатель права не воспользуется им в будущем и не приобретет БА у подписчика. Премия остается у продавца даже если покупатель не реализует возможность покупки базового актива. В случае с маржируемыми контрактами подписчик не получает премию на счет сразу, вместо этого у обоих участников сделки блокируется сумма, равная гарантийному обеспечению.
• Дата экспирации – время, когда между сторонами происходит взаимозачет. Если предусмотрена реальная поставка БА, покупатель может реализовать право на его покупку. Чаще все ограничивается корректировкой балансов счетов подписчика и покупателя опционного контракта. В спецификации указывается день экспирации, процесс происходит с 18:45 до 19:05 МСК, этот промежуток отведен под вечерний клиринг (он расширен на 5 минут в дни экспирации).

Есть и другие «узкие» термины, использующиеся при работе с этими инструментами. Уже очень скоро я опубликую статью о том, как торговать опционами и в рамках неё дам пояснение ряду выражений, применяющихся непосредственно в трейдинге.

Торговля опционами и возможные состояния контрактов

При торговле все сделки условно можно разделить на «открывающие» и те, которыми ликвидируются текущие позиции. Трейдеры чаще всего работают с американскими опционами и досрочно фиксируют результат при движении цены БА в благоприятном направлении.

В зависимости от положения цены относительно страйка, сделка может находиться в нескольких состояниях:

• В деньгах. Для Call контрактов цена исполнения должна быть выше страйка, для Put – ниже. Держателю права покупки (Колл) или продажи (Пут) БА выгоднее исполнить контракт.
• Вне денег. Для Колл контрактов цена БА ниже страйка, для Пут – выше, исполнять его невыгодно. При таком сценарии возникает убыток, но он не выходит за пределы премии.
• Около денег. Стоимость БА находится примерно в районе страйка и спрогнозировать, каким будет исход, невозможно.
• Глубоко в деньгах. Аналог первого пункта этого списка, но цена БА настолько далеко ушла от страйка в прибыльном направлении, что вероятность смены состояния контракта околонулевая. По тому же принципу выделяют вид «Глубоко вне денег».

Состояния контрактов

Теперь, исходя из этих условий, разберем примеры разных состояний опционных контрактов:

1. Покупается контракт Колл на июньский фьючерс на акции Роснефти. Страйк – 36 000, пока график остается над этим ценовым уровнем он находится «в деньгах». Трейдер может держать его до экспирации или ликвидировать встречной сделкой до этой даты. К дате истечения сделка все еще прибыльная.

   

2. Тот же актив (фьючерсы на бумаги Роснефти), но сделка более рисковая, заключается в начале июня со страйком 40 000. Риск не оправдался, цена ненадолго вышла в состояние «в деньгах» и последовавший обвал сделал исполнение контракта финансово невыгодным.

   

3. Переходим к опционам Put, БА оставим тот же. Предположим, покупается Put со страйком 40 000, прогноз отрабатывает, и вскоре цена падает ниже этой отметки. Как только акции Роснефти начинают стоить менее 400 руб. за одну бумагу, сделка переходит в состояние «в деньгах»;

   

4. Менее удачливый трейдер мог купить контракт Пут в конце мая со страйком 36 500. Прогноз не отработал, стоимость БА стала расти, но убыток в любом случае ограничен лишь премией. При экспирации цена так и не перешла в состояние «в деньгах», так что контракт остается неисполненным.

   

Не имеет значения, торгуются опционы на акции, драгоценные металлы, инструменты товарного рынка или прочие категории базовых активов. Развития событий всегда происходит по одному из указанных выше сценариев.

Примеры

Пример расчета цены европейского опциона на акции без выплаты дивидендов

В настоящий момент инвестор имеет возможность приобрести европейский опцион пут на акции корпорации Apple Inc. по цене $4.57. Необходимо определить, следует ли инвестору приобретать этот опцион, если он располагает следующей информацией:

• спотовая цена акции Apple Inc. в настоящий момент составляет $196,16;
• цена исполнения опциона $192,50;
• до экспирации опциона остается 21 день;
• среднеквадратическое отклонение годовой доходности акций составляет 26,07%;
• процентная ставка по 12-ти месячному Казначейскому векселю (Treasury Bill) составляет 2,50%;
• до наступления даты экспирации опциона выплата дивидендов производиться не будет.

Чтобы воспользоваться приведенной выше формулой Блэка-Шоулза нам необходимо рассчитать параметры d1 и d2.

d2 = 0,355464 — 0,2607√0,057534 = 0,292932

Для расчета значений N(d1) и N(d2) воспользуемся функцией Excel НОРМ.СТ.РАСП.

1. В ячейку B1
   и
   B2
   введем полученные значения d1 и d2.
2. Выберите ячейку B4
   .
3. Нажмите кнопку fx
   , в поле
   Категория
   выберите
   Полный алфавитный перечень
   , в открывшемся списке выберите функцию
   НОРМ.СТ.РАСП
   .
4. В поле Z
   выберите ячейку
   B1
   , а в поле
   Интегральная
   введите значение
   1
   (логическая переменная для выбора интегральной функции распределения, если ввести 0 то будет выбрана функция плотности вероятности!).
5. Нажмите кнопку OK
   .

Полученное значение интегральной функции распределения N(d1) составляет 0,638879. Аналогичным образом рассчитывается и значение N(d2), которое составляет 0,615213.

Рассчитаем цену опциона колл на акции Apple Inc. приняв ставку по Казначейским векселям в качестве безрисковой процентной ставки:

С(St,t) = 0,638879×196,16 — 0,615213×192,5×2,718282-0,025×0,057534 = $7,06

Рассчитаем цену соответствующего опциона пут воспользовавшись уравнением пут-колл паритета:

P(St,t) = 192,5×2,718282-0,025*0,057534 — 196,16 + 7,06 = $3,13

Поскольку справедливая цена опциона пут составляет $3,13, инвестору не стоит принимать предложение об его покупке по цене $4,57.

Пример расчета цены европейского опциона на акции с выплатой дивидендов

Предположим, что на рынке есть европейский опцион колл на акции General Motors Company с ценой исполнения $35.00, экспирация которого наступает через 173 дня. В настоящий момент акции этой компании торгуются по цене $38.86, среднеквадратическое отклонение их годовой доходности равно 14,57%, а ставка по 12-ти месячным Казначейским векселям составляет 2,50%. При этом ожидается, что до истечения срока действия опциона будет произведено две выплаты дивидендов в размере $1,52 на акцию. Первая из них ожидается через 64 дня, а вторая через 151 день.

Чтобы рассчитать цену этого опциона колл необходимо воспользоваться формулой Блэка-Шоулза с учетом дивидендных выплат. Для этого рассчитаем форвардную цену акций F приняв процентную ставку по Казначейским векселям в качестве безрисковой.

d2 = 1,21124 — 0,1457√0,474 = 1,11094

Значения интегральной функции распределения рассчитываются в Excel: N(d1) = 0,8871 и N(d2) = 0,8667.

С(St,t) = 2,718282-0,025×0,474(35,84×0,8871 — 35×0,8667) = $1,44

Для расчета цены соответствующего опциона пут рассчитаем в Excel N(-d1) = 0,1129 и N(-d2) = 0,1333.

P(St,t) = 2,718282-0,025×0,474(35×0,1333 — 35,84×0,1129) = $0,61

Зачем продавать опционы

Покупатель находится в несколько невыгодной позиции. При открытии сделки выплачивается премия. Для выхода в плюс нужно, чтобы рост цены БА перекрывал выплату продавцу.

Предположим продан опцион Call (БА – фьючерсы на акции Роснефти) со страйком 36 000, премия по нему составила 500 руб. Во время экспирации стоимость ценных бумаг выросла до 362 руб., значит, при исполнении холдером права на покупку БА он заработает 200 руб., что частично перекрывает убыток из-за премии. Продавец в этой же ситуации заработал 500 – 200 = 300 руб.

Зависимость между прибылью участников сделки по опциону Колл иллюстрирует график ниже. Как только стоимость БА превышает страйк, начинает расти прибыль покупателя, у противоположной стороны нарастает убыток.

По Пут контрактам вид графика меняется.

Состояние продавцов Пут и Колл опционов критически зависит от цены базового актива. В момент заключения сделки он находится в более выигрышном положении, но со временем ситуация может быстро измениться.

Опционы: расчет одношаговой биномиальной модели. Ликбез для гика, ч. 8

Это третья часть рассказа про опционы, где мы поговорим про биномиальную модель, риск-нейтральную меру и разберёмся, как рассчитать цену опциона.

Если вы пропустили наш подробный рассказ про опционы, вот ссылки на предыдущие части: — Что такое опционы и кому это нужно. Ликбез для гика, ч. 6 — Опционы: пут-колл парити, броуновское движение. Ликбез для гика, ч. 7

Данный пост основан на расшифровке моих видеолекций «Одношаговая биномиальная модель» и «Расчет опциона», созданных в рамках курса Finmath for Fintech.

Одношаговая биномиальная модель. Можно ли считать цену опциона как математическое ожидание дисконтируемой выплаты? Что может пойти не так?

Следующее понятие, которое необходимо обсудить, — риск-нейтральная мера. Это понятие в общем виде требует не-школьной математики, поэтому, как и ранее, мы не будем что-то доказывать в общем виде. Вместо этого начнем с очень простого примера (даже может показаться, что он слишком простой и вообще не имеет никакого отношения к реальным моделям для нашей темы). На этом примере мы увидим, как работают термины, а все результаты, которые мы получим, будут верны и в более общем случае.

Мы рассматриваем биномиальную модель с дискретным временем. У нас есть два момента времени, в которых наблюдается рынок: t0 и t1, есть некий рисковый актив, т.е. он содержит в себе риск. Его цена в момент t0 равна 50. И есть два варианта развития события в будущем (поэтому модель и называется биномиальной): цена может увеличиться до 100 или упасть до 25. Это наш рисковый актив, в котором есть некоторая неопределенность. Также нам в нашей модели нужен некоторый безрисковый актив, аналог банковского счета в надёжном банке. Предположим, у нас риск-нейтральная ставка 20% и, значит, деньги, положенные в момент времени t0 на депозит в количестве 50 в момент времени t1 дадут выплату 60.

Рис. 1

В нашей модели есть некоторые вероятности. Обозначим их: p — вероятность того, что актив увеличится в цене, и вероятность того, что актив в цене уменьшится: 1-p.

Если бы мы работали с активом, в котором нет никакой неопределенности, то цена такого актива в момент времени t0 была бы просто дисконтированной выплатой в момент t1, как это есть для безрискового актива. Но у нас есть два варианта с некоторой неопределенностью. Логично выглядит предположение о том, что, используя эти вероятности, мы бы могли просчитать математическое ожидание от дисконтированной выплаты какого-то производного продукта. Если мы рассмотрим колл-опцион на такой риск базовый актив, то его цена, наверное, будет равна математическому ожиданию дисконтированной выплаты в момент времени t1:

Это наше предположение.

Тут D1 — коэффициент дисконтирования из момента t1 в момент t0. Посчитаем, чему будет равно записанное выше выражение. Для определенности давайте скажем, что страйк этого опциона K равен 70. Тогда у нас есть все данные, чтобы посчитать мат. ожидание.

Проверим, работает ли наше предположение. Мы сделаем так: составим некоторый портфель из опциона, базового актива в момент t0 и рассмотрим его выплату в момент t1. Составим портфель следующим образом. Мы продаем 15 колл-опционов и покупаем 6 штук базового актива. Берем в долг 125 единиц денег. Такие вот магические цифры, чуть попозже мы увидим, откуда они берутся, как их можно посчитать, но пока это просто выбранные константы. В момент времени t0 изменение нашего баланса будет выглядеть следующим образом:

Рис. 2

Мы получаем прибыль за 15 опционов: +15С0; платим за шесть единиц базового актива по цене 50: -6*50; получаем: +125 денег.

Далее следует момент времени t1 и два возможных варианта: когда цена актива (S1) стала 25 и когда цена актива стала 100. В первом случае, когда цена стала 25 при страйке 70, опцион ничего не стоит. Когда цена стала 100, и мы продали 15 опционов, нам нужно заплатить премию -15*(100-70). Приобретенные шесть единиц базового актива у нас на балансе, мы можем их продать и получить деньги по текущему курсу 6*25 или 6*100 соответственно тому, какая цена реализовалась. Наш долг увеличивается согласно процентной ставке, и мы получаем выплату, в обоих случаях одинаковую, которая не зависит от цены актива: -150. Теперь сложим все числа, которые у нас получились на момент времени t1. Как видим, в обеих колонках получаем ноль. Это связано с тем, что изначально цифры были специально подобраны.

Рис. 3

В момент времени t1 независимо от того, какой сценарий реализуется, портфель, составленный таким образом, стоит ноль. Следовательно, в момент времени t0 он тоже должен стоить столько же — ноль. Мы опять используем условие отсутствие арбитража на рынке.

Приравняв эту сумму к нулю, мы получаем цену опциона:

Мы видим, что результат 11,6 не совпадает с тем, что получили ранее: 12,5. Этот, казалось бы, интуитивно верный результат не сработал. Составив специальный портфель, мы увидели, что, если бы цена на колл-опцион была 12,5, это бы как раз и означало наличие арбитража на рынке. То есть при такой цене на колл-опцион можно было бы зарабатывать деньги без риска. Давайте разберемся, почему же так получилось.

Одношаговая биномиальная модель. Расчет опциона. Риск-нейтральные вероятности

Чтобы проанализировать полученный результат, давайте немного обобщим модель и будем работать уже не с фиксированными числами, а с какими-то параметрами. Обозначим текущий курс рискового актива как S, введем параметр d и параметр u. У нас к моменту времени цена t1 рискового актива может пойти либо вниз в d раз, либо вверх в u относительно текущего уровня. Цена безрискового актива по-прежнему определяется некоторым дискаунт-фактором.

Рис. 4

Заметим, что по построению параметры модели заданы так, что d1-1 (см. рис. 4).

По поводу составления портфеля следует заметить, что мы сразу можем поделить весь портфель на номинал нашей позиции в опционах. Это, возможно, даст нам дробные номиналы в каких-то других позициях, но мы разрешаем себе с этим работать в рамках нашего математического анализа. Мы будем работать с любыми действительными числами — как с положительными, так и с отрицательными. В рамках практики рынка отрицательные позиции соответствуют short selling, и могут быть определенные ограничения на такие позиции, но мы этим в нашем тоже анализе пренебрегаем.

Так как мы можем поделить все на номинал нашей позиции в опционах, то мы просто будем рассматривать один опцион. И для составления портфеля остается только два параметра: размеры позиций в рисковом и безрисковом активах.

Купим какое-то количество x базового актива S и возьмем в долг какое-то количество денег, такое, чтобы получить выплату ровно y. Мы его дисконтируем на момент t0 и получаем D1y. Мы берем в долг D1y, а выплатить в момент t1 нам нужно будет y. Т.е. для баланса это будет сумма -y.

В случае с базовым активом мы покупаем на сумму — xS. У нас возможны два случая: когда цена пошла вниз S1=d*S и когда цена пошла вверх S1=u*S. Соответственно, наша позиция будет стоить x*d*S или x*u*S. И мы продаем один колл-опцион, в начальный момент времени мы за него получаем премию C0. В момент времени t1 мы обязаны сделать выплату по этому опциону, так как взяли на себя это обязательство: -Cd и -Cu соответственно.

Рис. 5

Выплата в момент времени t1 определяется также еще одним параметром — страйком опциона, это некоторое заданное число. Как и в прошлый раз, мы бы хотели построить портфель таким образом, чтобы в обоих случаях, вне зависимости от того, какая цена базового актива реализовалась, в конце портфель бы стоил ровно ноль. Давайте посмотрим, можем ли мы это сделать. Перепишем данные в виде системы из двух уравнений:

Эта система из двух уравнений с двумя неизвестными имеет решение. Вычтем одно уравнение из другого, чтобы сразу получить значение x.

Подставляя значение x, можно найти y.

По построению этих уравнений такие значения x и y дают нам в обоих возможных вариантах цену портфеля, равной нулю. Рассуждая точно так же, как и в прошлый раз, портфель на expiry в момент времени t1 стоит ровно ноль, независимо от того, какая цена базового актива реализуется на рынке. Следовательно, этот портфель должен стоить ноль и в момент t0, по условию отсутствия арбитража. Таким образом, мы получаем уравнение для цены колл-опциона в начальный момент времени. Запишем выражение для цены колл-опциона C0 в момент времени t0, используя наше решение.

Где q — новый параметр, который выражается через известные нам коэффициенты:

По построению, так как мы задали параметры u, d и дискаунт-фактор D1-1 так, как показано на рис. 4, то значение q лежит в диапазоне от нуля до единицы. То есть в диапазонах, доступных для значений вероятности.

В слагаемом с Cu мы используем q, а для выплаты Cd при движении вниз мы используем (1-q). То есть формулу можно переписать как вычисление математического ожидания, но используя уже не вероятность p, которая соответствует реальной вероятности того, что произойдет на рынке, а некоторую синтетическую вероятность, которая определяется формулой для q. Иначе говоря, мы получили математическое ожидание дисконтированной выплаты, но используя уже некоторые другие вероятности. Это и является вычислением математического ожидания в риск-нейтральной мере.

Вероятность, которую мы получили, это некоторая синтетическая вероятность, которая отличается от реальных вероятностей, которую мы могли бы наблюдать в реальной жизни, но вычисление математического ожидания от дисконтированной выплаты опциона в этой вероятностной мере дает нам правильный ответ для цены опциона.

Такой подход работает и в более сложных моделях, с непрерывным временем и более приближенным к реальности распределением вероятностей. В таких моделях так же, при условии отсутствия арбитража, можно доказать существование риск-нейтральной вероятностной меры, которая позволяет считать цены инструментов как мат. ожидание в этой мере.

На первый взгляд может показаться: то, что «вероятности» в этой синтетической риск-нейтральной мере никак не связаны с реальными вероятностями возможных исходов, должно сделать их непригодными для практического использования. Но на самом деле это не является препятствием для того, чтобы мат. ожидание, вычисленное в этой синтетической вероятностной мере, имело практическое значение. Нужно только что бы по наблюдаемым на рынке ценам можно было рассчитать нужные риск-нейтральные вероятности. Тогда разные участники рынка смогут прийти к одним и тем же результатам, при этом их оценка реальных вероятностей разных событий может различаться.

Многошаговая биномиальная модель

Подход, описанный здесь для рассуждения про риск-нейтральные вероятности, стал популярен благодаря статье Cox, J. C.; Ross, S. A.; Rubinstein, M. (1979). «Option pricing: A simplified approach». Такой подход помогает решить сразу несколько важных проблем.

Во-первых, после публикаций статей Блэка, Шоульца и Мертона в 1973 году появилось успешная, быстро и широко принятая теория прайсинга опционов. Эту теорию нужно было преподавать в университетах. В том числе MBA-студентам и студентам экономических факультетов. Но разделы математики, которые используются для рассуждений, в общем виде в стандартную программу не входят. Даже сегодня и даже для студентов технических специальностей. А преподавать как-то нужно. Ведь MBA-программа — это не только красивый диплом для студентов, но и дополнительный заработок для преподавателей математики.

Во-вторых, на одном шаге с двумя исходами статья не заканчивается. Если сложить много таких маленьких шагов, то получается многошаговая модель с полезными свойствами. Ее можно использовать для реализации вычислительного алгоритма.

Если у нас есть фиксированный отрезок времени до expiry опциона, то можно попробовать построить математическую модель, в которой мы разделим этот отрезок на N отрезков, и сказать, что на каждом шаге возможно два исхода. Тогда мы получим решетку возможным исходов (см. рис.6). Тут, как и раньше, голубыми цветом нарисованы возможные значения рискового актива, малиновым цветом нарисован рост безрискового актива. Для рискового актива для каждого значения спота есть два варианта развития ситуации на следующем шаге по времени. Линии между голубыми точками показывают, как они связаны друг с другом.

Рис. 6

Далее можно математически проанализировать предельный случай при N → ∞. Что и было сделано авторами статьи. Если правильно выбрать параметры u и d, то в пределе решётка будет приближаться к логнормальному распределению. Т.е. в пределе получаем модель Блэка-Шоульца.

Математический анализ такого предельного случая рассматривать не будем, просто приведём некоторую визуализацию. На рис. 7 и 8 нарисованы решетки при больших значениях N. В отличии от рис. 6 нарисованы только точки, показывающие возможные значения, линий между ними нет, чтобы можно было разглядеть детали.

Рис. 7

Рис. 8

Все статьи этой серии:

• Стоимость денег, типы процентов, дисконтирование и форвардные ставки. Ликбез для гика, ч. 1
• Облигации: купонные и бескупонные, расчет доходности. Ликбез для гика, ч. 2
• Облигации: оценка рисков и примеры использования. Ликбез для гика, ч. 3
• Как банки берут друг у друга в долг. Плавающие ставки, процентные свопы. Ликбез для гика, ч. 4
• Построение кривой дисконтирования. Ликбез для гика, ч. 5
• Что такое опционы и кому это нужно. Ликбез для гика, ч. 6
• Опционы: пут-колл парити, броуновское движение. Ликбез для гика, ч. 7

Могут ли новички заработать деньги на торговле опционами

Само понятие «без денег» несколько условно, под ним понимаются новички со сравнительно малыми депозитами. С нулевым капиталом заработать невозможно ни на одном из рынков.

Финансовые требования к новичкам сравнительно небольшие. Депозита в 10-15 тыс. руб. с лихвой хватит для экспериментов в торговле.

Что касается дохода, то рекомендуем не рассматривать опционы как грааль. Этот инструмент действительно может давать высокую доходность в отдельных случаях, но лучше не рисковать и использовать консервативные стратегии. На стартовом этапе запомните основное правило – никогда не делайте «голых» продаж опционов. По таким позициям убыток не ограничен, можно не только потерять депозит, но и уйти в минус.

Где и как можно купить опционы

Этот тип инструментов доступен и на ММВБ, и на CBOE (Чикагская биржа опционов), и на других торговых площадках мира. При этом непосредственно зарегистрироваться на сайте и начать торговать невозможно. Все операции делаются через брокера, имеющего выход на соответствующую биржу.

То есть процесс выглядит так:

1. Находите брокера, имеющего доступ к соответствующим биржам.
2. Регистрируетесь у него, открываете счет и пополняете его.
3. Скачиваете ПО.
4. Начинаете торговать.

Одним из лучших брокеров для новичков считаю БКС. У него масса тарифов, это пригодится позже, когда выйдете на траекторию устойчивого роста. На всех тарифах он дает доступ к срочному рынку ММВБ, условия по стартовому тарифу приведу в таблице ниже.

Плюсы и минусы работы с опционами для начинающих

Начнем с сильных сторон этого типа трейдинга:

• Опцион Пут и Колл – предельно простой инструмент. Достаточно понять его природу, и через пару недель работы освоите все нюансы.
• Невысокие требования к стартовому депозиту.
• Возможность гибкого управления рисками, прибылью и убытком. Это самый гибкий финансовый инструмент.
• Тысячи активов, доступны контракты даже на погоду.

Недостаток один – неверное восприятие новичками этого инструмента. Из-за непонимания его природы на стартовом этапе трейдеры могут сливать все деньги и даже уводить баланс счета в минус.

Методы оценки стоимости реальных опционов

Для экономической целесообразности инвестиционных решений в бизнесе используются два главных метода работы:

• модель Блэка–Шоулза;
• биноминальная модель.

Модель оценки Блэка–Шоулза

Формула расчета в соответствии с данной моделью выглядит так:

C — цена реального опциона;

N — функция нормального распределения;

PV — приведенная стоимость.

Такой метод оценки применяется часто, однако имеет ряд ограничительных параметров:

• необходимость наличия достаточной ликвидности;
• отсутствие чрезмерной волатильности;
• опцион должен быть европейского типа.

Биномиальная модель

Данный метод трудоемкий, но позволяет получить точные результаты исследования.

Смысл биноминальной модели состоит в том, что при анализе стоимости реального опциона используются только два вероятных сценария — позитивный и негативный, а участники нейтральны к риску.

В свою очередь каждые из двух новых сценариев порождают две новые модели исследования, создавая «дерево принятия решений».

Схематично это выглядит следующим образом:

Альтернативные активы для инвестирования

Из аналогов выделю:

• ETF фонды – простейший метод портфельного инвестирования. Например, ETF с тикером SPY копирует весь индекс S&P 500 и обладает железобетонной устойчивостью.
• ПИФы – аналог ETF, но с большей комиссией.
• Инвестирование в ценные бумаги напрямую, инвестпортфель формируется вручную. Если только начинаете работать в этом направлении, полезной будет статья “Как новичку инвестировать в акции”.
• Работа с облигациями – дают купонный доход, стабильная прибыль на дистанции. Их рекомендую в первую очередь как высокодоходный аналог валютного депозита в банке.
• Фьючерсы – менее гибкий инструмент по сравнению с опционами, но это не делает его менее доходным.
• Форекс – более рискованный тип трейдинга по сравнению с фондовым рынком.
• Бинарные опционы – максимальный риск, заработать здесь сложно. Это аналог финансового беттинга.
• ПАММы (а также RAMM, LAMM, MAM счета). Это заработок за счет трейдинга в пассивном режиме, подвид доверительного управления.

Открой счет в БКС для инвестирования

Никто не заставляет вас концентрировать внимание на одном из направлений. Можете работать с опционами и параллельно формировать долгосрочный инвестпортфель, а еще часть денег вложить в криптовалюту.

Резюме

Опционы Put и Call могут стать источником дохода любого трейдера. Внешняя сложность работы с этим инструментом – иллюзия. Как только поймете логику опционных контрактов, освоите терминологию и опробуете пару стратегий в действии, вы удивитесь, насколько простым может быть трейдинг.

При этом предостерегаю вас от легкомысленного подхода к торговле опционами. Халатное отношение к трейдингу может привести к финансовой катастрофе.

На этом заканчиваю введение в работу с опционами, в будущем эту тему обязательно продолжу. Если остались вопросы – задавайте их в комментариях. Пишите пожелания и замечания, обещаю ответить каждому.

Для получения самой оперативной информации про новые статьи блога рекомендую подписаться на мой телеграм-канал. Это интересные новости, опросы и обзоры ситуации на финансовых рынках. На этом прощаюсь с вами. Всего хорошего и до скорой встречи!

Если вы нашли ошибку в тексте, пожалуйста, выделите фрагмент текста и нажмите Ctrl+Enter. Спасибо за то, что помогаете моему блогу становиться лучше!